三、黄金分割率与分形的关系及其在客观现实世界中的存在机理
黄金分割率0.618是一个比率数,其几何意义是一个线段按黄金率分割成的两条线段之比是两条线段中较长的一条与原线段之比,都是0.618。
假设线段长度为1个单位,分成A和B两段,则A+B=1
令A=0.382,B=0.618,则A/B=B/1,B*B=A,B/A=1/B
简单的运算可知:0.618*0.618=0.382,0.618*1.618=1,0.618/0.382=1.618
1/.382=1.618/0.618=2.618,1.618*1.618=2.618.黄金率主要是指0.618或其倒数1.618,0.382或其倒数2.618则次之,其它数字如0.191,0.236等都不是“黄金率”。
同样，我认为维度D=0.618空间是对D=1的一维空间的‘黄金分割’，D^0.618*D^0.382=D^1，维度D=1.618空间是D=0.618空间与D=1空间的（垂直）叠加；维度D=2.618空间是D=1.618空间与D=1空间的（垂直）叠加。可以认为，维度D=1.618空间是二维空间的一个特殊子空间，该子空间在二维空间中的“表现”就是一个完整的分形！分形维是决定分形的内在机理。理论研究表明，D=0.618分形维是最重要的，（当然也是1.618与2.618分形维的逻辑基础）。从空间的概念来讲，维度D=0.618的逻辑空间是由无穷多的、不连续的、分布不均匀的（“点的密度”与一维空间的测量尺度呈0.618的指数关系）“点域”组成的“实数空间”，所谓“点域”可简单理解为一个数及其最临近数组成的数集。分数维“空间”这种离散性（不连续性）与不均匀性决定了1〈D〈2分形维在二维空间的分形图案。现实世界中最有意义的分形维其D都在1.618（或0.618或2.618）附近，其分形图案最具代表性的：一是呈一定中心对称性的向外发散型如闪电、粒子的扩散置限聚集（模型）、细菌的繁衍生长模型、树枝等，如附图二附图三附图四所示；二是平面展开型如海岸线、白云的平面轮廓等。不平滑性、不相交性、一定程度上形状的相似性是这些图示分形（图案）的共同特点。
第一节已经讲过，任何一个由前两项之乘积生成随后一项的无穷级数数列Q={a(n)｜[a(n+2)=a(n+1)*a(n)],其中n=1,2,3,…,∞}，其相临两项的关系趋近1.618（或0.618）的极限指数关系，即a(n+1)=a(n)^1.618或a(n)=a(n+1)^0.618；而相临两项的对数比趋于极限关系loga(n+1)/loga(n)=1.618，同时loga(n+2)=loga(n+1)+loga(n)，即Q级数又对应一个由相临两项之和生成随后一项的无穷级数S。另外，假设级数Q的第一与第二项分别为a(1)和a(2)，则Q级数的第n项a(n)是多个a(1)和多个a(2)的乘积，具体为a(n)=a(1)^f（n-2）*a(2)^f（n-1），其中f(n-1)和f(n-2)分别为FIBONACII级数的第(n-1)项与第(n-2)项（见下面）；假如a(1)=a(2)=a,则a(n)=a^f(n)。妙就妙在乘积逻辑上，如果我们将a(1)或a(2)甚至更多的项作为具有某种特殊意义的“传递因子”，其众多的乘积结果不就是包含层层“传递因子”的分形吗？！在这里自相似性也就是“传递因子”的某种特征的“层层表现”。可以非常简单地设想D=0.618空间是由无穷多个Q类级数所构成的，由于该空间的“点”不连续（指离散），所以距离（或线或面）的概念无意义（因此该空间“点”在二维空间的“连线”呈现曲折波浪是必然的）。进一步研究表明，D=0.618空间的“点”具有“不独立性”与“不可重复性”，可理解为临近关联性和排他性。任意一个分形维空间的相关“点集”，对应（或代表）一个特定的信息向量（可以理解为一个信息集）。
客观事物的运动变化并不总是均匀的、可重复的，不均衡变化、不可逆性、具有相关性（或者说记忆性）是自然界普遍存在的现象，任何繁杂的看似无规的自然（或社会）现象，都存在一定的内在联系，而且越是“相接近”关联性就越强；同时每个具体的事物都具有区别于其他同类事物的个性特点（排他性）。这说明自然界的“随机性”并不是无任何规律的。分形维的逻辑基础正是建立在这些自然法则之上，因此可以说分形维空间的逻辑规则与推论，一定程度上揭示了自然界众多无规现象的内在规律。进一步研究表明，任何繁杂的自然系统（现象），最普遍的（或者说普遍存在的）相关性是“量”的叠加（和逻辑）与“质”（信息量）的非线性扩张（乘数或指数关系）----这正是自相似性的本质。这也是黄金分割率在现实世界中普遍存在的逻辑基础，因为体现自然界这种“和逻辑关系”的任意无穷级数S的相临两项之比趋于黄金分割率极限，而体现自然界这种“积逻辑关系”的任意无穷级数Q的相临两项的对数之比同样趋于黄金分割率极限。这种普遍规律表明:大集合中的元素如果具有无穷尽的叠加衍生(运动)关系,整体上必然表现某种与黄金率0.618（或1.618）有关系的特征。发现黄金分割率在波动曲线中的存在是ELLIOT最有价值的贡献。
一定程度上具有零和比赛规则的证券及外汇市场中的交易活动是典型的大集合意义上的叠加运动,交易本身是一个和逻辑游戏,具有结合律与分配律规则。市场上的交易活动与以前的甚至是很长一段时间内的交易活动都有叠加逻辑关系,因此价量走势图表中表现出与黄金率有一定关系是自然的。可以想象,充分体现黄金率的图表时间区间应是一个相对完整的交易周期,这是正确使用黄金率的前提,反过来又是确定一个完整交易周期的方法。
ELLIOT波浪理论将黄金分割率在FIBONACII级数中的特殊表现主观地作为了其在价格走势研究中的应用基础。FIBONACII级数是一个由1这个自然数生成的无穷自然数级数:1，1,2,3,5,8,13,21,34，55，...；其中每一项是其前面相邻两项的和,该级数有一个非常有趣的关系是其每相邻两个项的比值[表示为a(n)/a(n+1)]随着项的增大趋向于0.618黄金率极限,级数相隔两项之比[表示为a(n)/a(n+2)]趋于0.382。前面讲过这种关系并不是FIBONACII级数所独有,任何一个由前两项之和生成随后一项的无穷级S={a(n)[a(n+2)=a(n+1)+a(n)],n为自然数}都具有这种性质,FIBONACII级数仅是这种级数的一个特例,用其项数字---3,5,8,13,21,34,55,89,144等去数价格曲线的‘波浪数’显然是幼稚的。
四、价格波动曲线的基本分形形态及价量关系
商品的价格曲线或价格指数曲线是价格或指数随时间变化的坐标曲线。时间是连续发展的，而价格或价格指数是D=0.618分形维空间的“变量”（或者说价格或价格指数的变化符合D=0.618分形维空间性质），因此可以认为价格时间曲线具有1.618分形维，价格曲线的波动性是必然的，同时曲线具有自相似性。波动幅度（指相临波动浪）相比的1.618（0.618）关系是这种自相似性的基本特征之一。分形维的特点已经决定价格的波动曲线永远不可能重复前者，只是一定程度上的形似。中心对称空间（极坐标）的分形基本单元为“三树枝”结构，平面直角坐标系下的时间价格曲线的基本分形单元为“类N字”结构，分别见下图所示。图中所示的线段a、b、c的“长度或幅度”具有黄金分割率关系，类N字结构中的点1、2、3、4是D=0.618分形维空间的相关点。
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