二：周期
把一个X放到F（X）中迭代，得到一个新的X’=F（X），一般地说，X和X’是不会相同的。但是有时候会有这样的情况，一个X迭代以后，得到的X’，和原来的X是相等的，就是说，X经过迭代以后，并没有变化，新的X’=X，还在原来的位置，这样的X叫做迭代函数F（X）的不动点。
随便想一想就知道：有些迭代函数有不动点，而有些则没有。
但是，[0，1]区间到[0，1]区间的迭代一定有不动点（这一点可以通过微积分中的介值定理证明，由于不动点并非本节重点，因此这里不做证明过程）。
如果从X0开始按照公式Xn=F（Xn-1）迭代，迭代K次以后就回到原来的地方X0，但是迭代次数小于K时都不能回到X0，那么，X0就叫做函数F（X）的周期点，K就是函数F（X）的周期。
我们以周期3为例做详细解释。
Xn=F（Xn-1）是[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。假如X0是这个迭代的3周期点，那么，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把这些点画在图中，可以看到：
X0经过一次迭代到X1，X1经过一次迭代到X2，X2经过一次迭代又回到X0，就是说，X0经过三次迭代，又回到原来的地方。
就是因为X0经过三次迭代回到原位，所以X0叫3周期点。
很显然，我们还能够注意到，X1也是3周期点，因为X1同样可以经过三次迭代后回来，同样，X2也是3周期点。所以，周期3的函数，至少有3个3周期点。
现在你明白了，所谓的不动点，实际上就是1周期点。
如果你是一名证券交易参与者，我不知道上面的文章会给你什么启示，对于我来说，产生了如下的感想：
既然价格趋势由迭代产生，那么必然会产生周期，尽管周期可能非常难以琢磨和寻找，但是它的确是存在的，这一点，从那些运用周期理论的交易专家身上或许会得到更多的启发-------他们根本不关注价格变化而是仅仅关注价格周期和时间周期，并因此而取得令人敬佩的交易成绩。
当然，我相信不是每一个使用周期的交易者都是专家，也不是每一个周期交易专家都懂得其中的数学原理-------证券市场的一个特点是：理论不能说明什么，获利才是硬道理。但是有些人号称能够将周期理论做改进，捕捉到市场每天的高低点，每天获利N%，就真的有些哗众取宠，胡说八道了。
可能很多交易者仅仅听说过时间周期，没有听说过价格周期，其实很简单，既然有横向的时间周期，那么就必然有纵向的价格周期，从某个角度讲，价格周期可以理解为在某一时间段内价格的运动范围，但是并不完全相同。
由于周期本身相当虚幻和深奥，这里不做深入探讨，我们会在《杠杆操作法中级------稳定获利》中继续讨论。
三：沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象
苏联数学家沙可夫斯基将所有的自然数按照如下的次序做了排列：
3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；
3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；
3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；
3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；
…………………………………
………….26，25，24，23，22，21，20。
这个次序现在被称为沙可夫斯基次序。
对于连续的区间迭代，沙可夫斯基证明了：假设M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那么，如果有M周期点的话，就一定有N周期点。
这就是沙可夫斯基定理。
根据沙可夫斯基定理我们可以知道，如果一个函数有3周期，由于3在沙可夫斯基次序中处于最前面，那么这个函数就会有任意自然数的周期。
周期倍增分叉现象：
在函数Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
当中，随着参数A的增大，先是只有周期1的稳定解；当A增大到A1时，周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解；当A增大到A2时，2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时，周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。
沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象，在实际的证券交易中也许并没有什么意义，这里着墨，主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。
四：数学对混沌的定义
1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美国数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《PeriodThreeImpliesChaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。
李天岩在论文《PeriodThreeImpliesChaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：
设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如下性质，就说它有混沌现象：
（1）F（X）的周期无上限；
（2）在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：
①对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和 Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；
②对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。
对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：
周期3导致了混沌。
如果你想使用一种工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这种工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。
我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。
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