确定论系统
确定论系统——描述其数学模型是不含任何随机因素的完全确定的方程的系统。
确定论系统不一定是完全确定的。这意思说确定论系统给出的条件是确定的，但运行的结果可以是不确定的。以牛顿力学为中心的经典物理学忽视了这一点，认为只要给定了初始条件，该确定论系统以后的所有状态都能事先预知。即使初始条件有小小的变化，同样可以精确的预言。牛顿的这种决定论观念，经过拉普拉斯的发展，到十九世纪中期达到顶峰。其标志是法国天文学家勒威耶根据牛顿力学计算，于1846年预言了海王星的轨道，几星期后德国天文学家加勒在该轨道上果真找到了这颗星。
牛顿力学的数学基础是欧氏几何和微积分，一个给它构造了时空模型，一个给它提供了计算工具，只要知道现在时刻物体的位置和速度（动能），就可以计算出此物体过去和未来的位置和速度（动能），换句话说，就可以知道它的运动轨线。它的数学含义就是给定一个微分方程和它的初值，然后求解这个微分方程。但事实上，绝大部分微分方程是不可求解的（没有解析解的）
不确定系统
不确定系统的研究是从赌博开始的，这就是概率论，数理统计和随机过程。这个在经济方面目前用得很广泛，好理解但要深入却难。它在物理学的应用好象开始是热力学的布朗运动，气体分子的运动呈现统计特性。但由于这是一种投机理论，故很少把它作为理论基础。
在上个世纪（20世纪），量子理论的诞生，它却是建立在概率统计的基础上，最典型的是测不准原理，就是你无法同时测量到微观粒子的位置和动能，只能测到其中一个量，这样微分方程一开始就没有初始值，更谈不上求解了。
其实任何一个理论体系，都必须首先建立一些原则，公理和公设。相对论的创立，就在于爱因斯坦突破了牛顿的绝对时空概念，而提出光速不变性原理。量子力学的突破就在于它运用了概率统计，但就因为这个，爱因斯坦拒绝接受，因为他有一个更大的前提，就是“上帝不掷骰子”。所以有人也说量子理论是建立在沙砾中的宏伟大厦。谁对谁错，现在看起来是量子理论占了先机，但以后呢？谁也不知道。
混沌系统
混沌——确定性系统的不确定现象。
混沌是确定论系统的随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌不是混乱，它不同于平衡态，是一种序，是貌似无序的序。自然界中最常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间，这就是研究确定论系统中随机行为的重要意义所在。要清晰地给混沌下定义，还要讨论决定论系统对初值的细微变化的依赖情况。有三种情况：
（1） 系统对初值的不敏感依赖（决定论系统）：确定论系统的初值若改变很小，以致Δ0→0，则Δ→0即观测的两次运动无差别。也就是说：“初值相同，则运动相同。”单摆属于这种情况。牛顿力学常讨论这种类型的确定论系统。因而形成了经典的决定论观念（即只要知道初始条件就能确定任意时刻的状态）
（2） 系统对初值的敏感依赖（混沌系统）：某些确定论系统的初值稍稍变化（测不出来），经过一段时间后，各次的差别却明显表现出来（测量出“运动各异”）。在此情况下，以实验观察系统的运动是不可重复、不可预测的，表现出“随机性”。这就是混沌运动。
（3） 系统对初值的完全毫不依赖（非决定论系统即随机系统）：即初值一点不影响以后的行为。
对初值不敏感依赖的系统，可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统却只有非线性的才有可能。确定论系统的随机性是由非线性所致。
单摆和布朗运动是两种极端情况，自然界中常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于二者之间。因此混沌系统是非常广泛的。
混沌现象19世纪就观察到了，但由于混沌的研究非常复杂，需要很高的数学要求，所以当时没有进展。计算机的广泛应用，为人类，也为数学家打开了另外一个窗口。在求解微分方程上，有了一种称之为数值解的东西。于是混沌第一次被提出在1975年。混沌理论是近年来非线性科学取得的重要成果。
混沌的特征：
总结混沌现象可知有如下几个基本特征：
1、 内在随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。
2、 初值敏感性：对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足够接近从它们出发的两条轨线在整个系统溟过程中都将保持足够接近。但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里”。下面的蝴蝶效应说明这一点。
3、 非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。
奇怪吸引子
1971年茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理论，并不只对湍流的研究有重要意义，而是对整个混沌理论的发展都有重要作用。一般的动力系统，最终都会趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所。
经典力学指出，有三种类型的吸引子。一种是稳定的不动点，它代表一个稳定定态；第二种是稳定的“极限环”，即相空间中的封闭轨线，在它外边的轨线都向里卷，在它里边的轨线都向外伸，都以这个封闭曲线为其极限状态。极限环代表一种稳定的周期运动；第三类吸引子是稳定的环面，代表系统的准周期运动。
对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身，其它的性态都是短暂的。所以吸引子的一个重要特征是“稳定性”，它表示着运动的最终趋向或“演化目标”，运动一旦进入吸引子，就不会再离开它；当一个小的扰动使系统暂时偏离吸引子后，它也必然会再返回来的。吸引子的另一个重要特征是“低维性”，它作为相空间的点集合，其维数必定小于相空间的维数。
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