最佳化－使用微积分
因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化问题。
一正一反的组合后，赌注变成：
S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0
S – 一个周期后的赌注
b – 下注比例
P – 报酬2:1
S0 – 一个周期前的赌注
(1 + b*P) - 赢时的影响
(1 - b) – 输时的影响
所以，一个周期后的影响就是：
R = S / S0
R = (1 + bP) * (1 - b)
R = 1 - b + bP - b2P
R = 1 + b(P-1) - b2P
注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽交易者法则背后的数学意义。
我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。
Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是
b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,
b = (2 - 1)/(2 * 2) = .25
所以最佳化的下注比例就是资金的25%。
最佳化－使用凯利方程式（Kelly Formula）
J. L. Kelly在1965年的论文，A New Interpretation of Information Rate中，讨论使用电话线路来传送资料。论文中的一部份，Kelly Formula，也适用于交易中，求最佳下注比例。
图五：Kelly Formula
注意，W和R都是长期的平均数字，随着时间，K会小小的改变。
参考文献：Kelly 的原始论文。
胜率、报酬、和最佳下注比例的图形关系
最佳下注比例随胜率和报酬增加而增加
图六：最佳下注比例随着胜率而增加，趋近报酬。
这张图显示在不同的胜率和报酬下的最佳下注比例。最佳下注比例随着酬酬的增加而增加。对于很高的报酬率时，最佳下注比例等于胜率。举例来说，一个5:1报酬的公平铜板，最佳化下注比例趋近于50%。
过程中的期望值和最佳下注比例
图七：最佳化后的期望值随着胜率和报酬增加。
这张图表示，在最佳下注比例时，期望值和不同胜率和报酬的关系。报酬越高，胜率越好，期望值也越高。
由赌注和报酬寻找最佳下注比
图八：对高报酬而言，最佳下注比例趋近胜率。
这张图显示，50%胜率下，期望值和不同下注比例和报酬的关系。对于每一种不同的报酬，都有一个最佳下注比例。在这样的情况，1.5:1的报酬下，最佳下注比例约15%；2:1的报酬下，最佳下注比例约25%；5:1的报酬下，最佳下注比例为45%。请注意，图四是图八在2:1报酬下的一个切面。
非均匀分布以及高报酬
到目前为止，我们看待风险管理，都具于以下的假设：长时间下来，正面和反面出现的次数会相等。然而，偶而也会有一连串的获胜。如果报酬高于2:1，连续的获胜也允许的情况下，期望值会在全押的策略下达到最大值。
例如说，报酬是3:1，每次丢铜板的期望值是报酬乘以机率，也就是3/2。因此，丢十次铜板的期望值变成$1,000 x (1.5)10，将近$57,665。这远 远超出我们原来的期望值$4,200，报酬3:1，下注比例35%，基于正反面平均分配的假设。
几乎确定会毁灭的策略
全押，本质上来说是几乎确定会毁灭的策略。因为对一个公平的铜板来说，存活的机率，变成(.5)N，N表示丢铜板的次数。十次铜板之后，存活的机率大约是千分之一。大部份的交易者当然不想破产，所以就不会采用这样的策略。但是，这种策略的期望值真的很诱人。在毁灭只代表资产的损失时，我们会想要找到这样的系统。
例如，一个将军管理着好多可有可无的士兵。他也许会让士兵全部上场，全面攻坚，不考虑士兵会不会死掉。用这样的战术，将军也许会失去很多士兵，但也许会有一两个士兵攻坚成功。整体上来说，任务成功的机率就大增。
相同的，一个投资组合管理者也许会把资本分散在许多帐户中，然后赌上每个帐户里100%的资本。他想，他也许会输掉很多帐户，但有些帐户的胜利势必可以使整体的期望值最大化。这就是风险分散（Diversification）的原则。当个别的报酬率非常高时适用。
风险分散
风险分散就是把资金分散到很多不同的投资工具，单一投资工具失败时，损失得以限制。这样的策略必须符合“所有部位平均起来有获利期望值”这样的条件。比较起单一投资工具，风险分散也提供心理上的好处。短期内投资的变动，可以由不同投资工具间的成果抵消，而获得较为平滑的投资组合变动率。
The Uncle Point
从分散的投资组合的观点，个别投资工具组合成为总合的绩效。就风险管理者或基金投资人来说，基金的表现就成了注意力的焦点。基金的表现，也会受上述两种人的感觉、态度、还有投资者对个别股票态度上管理者的态度所影响。
基金管理中最重要的，也许也是最不受注意的观点，就是Uncle Point。它的意思是净值水平降低，引发投资者或管理者信心丧失的那个点。如果投资人或管理者失去信心而进行赎回，那基金就宣告死亡。正因Uncle Point发生时的环境通常是很灰心气馁的，很少文献对这个现象有详尽的记载。
尤其是当基金在安全范围里的时候，除了法律文件里必要但却含糊的贴示外，没什么人会注意Uncle Point。在Uncle Point认知上的不协调可以导致其中一方的放弃，说起来也很不幸，明明另一方要的只是再次保证。
当压力真的很大的时候，投资人和管理者不会去看那个看也看不懂的法律文件，他们会看的是自己够不够胆。在净值常常降低，高表现，高变动率的创业界尤其重要。
若双方对Uncle Point没有清楚的共识，风险管理者往往必须假设Uncle Point就在不远处，于是他们寻找降低变动率的方法。如同我们上面所看到的，低变动率系统很少能有最好的获利。然而压力和紧张局势使得对于变动率的侦查和处罚变成必要。