期望理论：风险条件下的决策分析

根据v的下凹性，有π(0.001)/π(0.002)>v(3000)/v(6000)>1/2。

问题81中的反射偏好得出了同样的结论。然而，问题7与问题71中的偏好模式提示我们，弱可加性不一定对大值p有效。

而且，我们提出很小的概率通常会被权重过度（overweighted），即，对于小p有π(p)>p。来看下面的选择问题。

问题14：

（5000，0.001），或（5）。

N=72[72]*[24]

问题141：

（-5000，0.001），或（-5）。

N=72[17][83]*

注意：在问题14中，人们偏好的是彩票功效而不是其预期价值。另一方面，在问题141中，人们偏好小损失（可以被视为支付保险费）而不是小概率的大损失。类似的观察结果已为Markowitz所披露。本理论认为，问题14中对彩票的偏好表示π(0.001)v(5000)>v(5)，由此π(0.001)>v(5)/v(5000)>0.001，假设收益的价值函数下凹。问题141中愿意支付保险费意味着同样的结论，假设损失的价值函数上凸。

将权重过度（系指决策权重的一个特性）与高估（通常出现在对罕见事件的概率评估中）区别开来是很重要的。注意：高估的结果不会出现在目前的情况中，这里的受试者被假定采用了给定的p值。在很多现实情况中，高估与权重过度可能都会导致加大罕见事件的影响。

虽然对于小概率有π(p)>p，但有证据提出，对于所有的0

v(2400)>π(0.66)v(2400)+π(0.33)v(2500)，即

[1-π(0.66)]v(2400)>π(0.33)v(2500)及

π(0.33)v(2500)>π(0.34)v(2500)；由此

1-π(0.66)>π(0.34)，或π(0.66)+π(0.34)<1。

对Allais的原始例子应用同样的分析，得π(0.89)+π(0.11)<1。MacCrimmon与Larsson披露的数据意味着p的附加值的次确定性。

在区间（0，1）中π的斜率可以被看作偏好对概率变化的敏感度的测量。次确定性要求π须对p回归，即，偏好对概率变化的敏感性一般不如预期原则所要求的那样敏感。因此，次确定性捕捉到人们对不确定事件的态度的一个基本因素，也就是，与补充事件有关的权重数量一般小于与确定事件有关的权重数量。

回忆一下，本文前面讨论的对替代原则的违背遵循以下法则：若(x,p)等于(y,pq)则(x,pr)不优于(y,pqr)，0

π(p)v(x)=π(pq)v(y)表示π(pr)v(x)≤π(pqr)v(y)；由此，

π(pq)/π(p)≤π(pqr)/π(pr)。

因此，对于固定比例的概率，概率小时比概率大时，对应的决策权重的比例更接近于整体1。π的这一特性被称为次比例性（subproportionality），这一特性对π的形状施加了相当大的影响：当且仅当logπ是logp的上凸函数时该特性有效。

值得注意的是，次比例性以及对小概率的权重过度表示π在整个区间上是弱可加的。形式上，可以看出，若π(p)>p且次比例性有效，则π(rp)>rπ(p)，0

图4描述了一个假设的权重函数，该函数满足对小值p的权重过度与弱可加性，以及次确定性与次比例性等条件。这些特性使得π必需在开区间上相对平缓而在靠近端点处（其中，π(0)=0与π(1)=1）急剧变化。π在端点处的急剧下降或明显的不连续，与能够附属于某个事件的决策权重无论有多小（如果给以权重的话）都存在极限（注：即可对其求极限）这一观点是相一致的。类似的量化怀疑可能会对任何小于整体1的决策权重强加一个上限。这些量化效应可能反映了确定性与不确定性之间明确的区别。另一方面，在编辑阶段对期望的简化会导致个人舍弃概率极小的事件，并将概率极大的事件当作确定性来对待。由于人们局限于自己对极端概率的理解能力与评估能力，因此，非常不可能的事件要么被忽视要么被权重过度，大概率与确定性之间的差异要么被忽视要么被夸大。因而，在接近端点处π的表现是不正常的。

图4一种假设的权重函数

下面的例子（由Zeckhauser提出）说明了假设的π的非线性（nonlinearity）。假定你被迫玩俄罗斯轮盘赌，但是你被给以机会花钱从装了子弹的手枪中卸掉一颗子弹。将子弹的数目从4减至3与将子弹的数目从1减至0，你是否会支付同样的钱？多数人感到，与将死亡的概率从4/6降低至3/6相比，他们会愿意支付多得多的钱将死亡的概率从1/6降低至0。在后一种情况下，经济方面的考虑会导致人们支付更多的金钱，这种情况下，金钱的价值大概由于无法再活着享用金钱这个很大的概率而降低。

对π(p)≠p这一假设一个明显的反对意见涉及到(x,p;x,q)形式与(x,p1;x,q1)形式的期望的比较，其中，p+q=p1+q1<1。既然每个人都确定对这两个期望之间的区别不感兴趣，那么可以证明，这一观察结果要求有π(p)+π(q)=π(p1)+π(q1)，这里依次表示π为恒等函数。这一论点对于本理论是站不住脚的，因为本理论假设相同结果的概率在期望的编辑中进行合并。对π的非线性的一个更为严肃的反对意见涉及到对优势可能的违背。设x>y>0,p>p1，且p+q=p1+q1<1；由此，(x,p;y,q)支配(x,p1;y,q1)。如果偏好遵循优势，则

π(p)v(x)+π(q)v(y)>π(p1)v(x)+π(q1)v(y)，

或

。

由此，随着y渐进于x，有π(p)-π(p1)渐进于π(q1)-π(q)。既然p-p1=q1-q，π一定基本上是线性的，否则优势必定被违背。

在本理论中，假设在期望评估之前占优势的选择方案已被查出并消除，因此直接的优势违背得到阻止。然而，本理论允许间接的优势违背，例如，三个一组的期望使A优于B，B优于C，C支配A。参见Raiffa的一个例子。

最后，应注意目前的论述是关于最简单的决策任务的，即，一个人在两个可得到的期望中进行选择。我们没有详细论述更复杂的生产任务（比如，竞拍），即决策者形成一个在价值上等于某个给定期望的选择方案。这种情况下两个选项之间的不对称可能会产生系统偏差。事实上，Lichtenstein与Slovic已构造一对期望A与B，使得人们一般偏好A胜于B，但为B出价高过为A出价。这一现象已在几项对假设及实际的赌博的研究中得到证实，参见Grether与Plott的例子。因此，一般无法假设期望的偏好次序能够通过竞拍过程被发现。

由于期望理论已作为一种选择模型被提出，所以，竞拍与选择的不一致性意味着价值与决策权重的测量应基于指定期望之间的选择，而不是基于竞拍或其他生产任务。这种限制使得对v和π的估测更为困难，因为生产任务更加便于衡量而不是成对比较。

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