资金管理的数学解决方法

赌注加倍（Martingale）的意思是在赌输时加倍下注。如果又输，则再加倍，如此一直下去。这种方式好比赶在压路机前捡硬币，只要一次失手，资本就完蛋。

最佳化－使用模拟测试

一旦我们选定了一个下注系统，例如固定比例下注系统，我们就能依系统找出最佳化的参数（Parameters），得到最好的期望值（Expected Value）。在丢铜板的例子中，我们唯一的参数就是那个固定比例。再次重申，我们可以经由模拟测试找到答案。

请注意，丢铜板的例子的用意在于强调风险的某些元素，以及它们之间的关系，特别是我们的例子是报酬2:1，胜率50%。这个例子没有考虑正反面不均匀的情况，也没有考虑一连串的正面或反面。它的用意并非在建议任何市场交易里风险管理的参数

%时，资本不会改变。在5%时，赌注是资本$1000.00的5%，也就是$50.00。第一次期望值是$1,100，以灰色部份表示。第二次的赌注一样是资本的5%，$55.00，这次我们会输，剩下$1,045.00。请注意，在赌注为25%时，表现最好，以红色部份表示。再请注意，最佳化参数(25%) 在一次正反面周期后就很明显了。这让我们能够以单一周期求得最佳化参数。

请注意，系统的期望值在25%下注比例时，从$1000.00提高到最大值$1,800。从这之后，随着提高下注比例，获利减少。这条曲线表示了两个表达了两个风险管理的根本法则，(1) 胆小交易者法则：如果你下的注不够大，你的获利也不会大。 (2)鲁莽交易者法则：如果你下的注太大，破产是必然的。 在具有多个部位，多个赌注的投资组合中，总风险我们称之为投资组合热度（Heat）。

这个图同时说明了在报酬为2:1的情形下，期望值和下注比例的关系。这样的关系在不同报酬的情况。

最佳化－使用微积分

因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化问题。

一正一反的组合后，赌注变成：

S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0

S - 一个周期后的赌注

b - 下注比例

P - 报酬2:1

S0 - 一个周期前的赌注

(1 + b*P) - 赢时的影响

(1 - b) - 输时的影响

所以，一个周期后的影响就是：

R = S / S0

R = (1 + bP) * (1 - b)

R = 1 - b + bP - b2P

R = 1 + b(P-1) - b2P

注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽交易者法则背后的数学意义。

我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。

Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是

b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,

b = (2 - 1)/(2 * 2) =0 .25

所以最佳化的下注比例就是资金的25%。

最佳下注比例随着胜率而增加，趋近报酬。

这张图显示在不同的胜率和报酬下的最佳下注比例。最佳下注比例随着酬酬的增加而增加。对于很高的报酬率时，最佳下注比例等于胜率。举例来说，一个5:1报酬的公平铜板，最佳化下注比例趋近于50%。

过程中的期望值和最佳下注比例

几乎确定会毁灭的策略

全押，本质上来说是几乎确定会毁灭的策略。因为对一个公平的铜板来说，存活的机率，变成(.5)N，N表示丢铜板的次数。十次铜板之后，存活的机率大约是千分之一。大部份的交易者当然不想破产，所以就不会采用这样的策略。但是，这种策略的期望值真的很诱人。在毁灭只代表资产的损失时，我们会想要找到这样的系统。

例如，一个将军管理着好多可有可无的士兵。他也许会让士兵全部上场，全面攻坚，不考虑士兵会不会死掉。用这样的战术，将军也许会失去很多士兵，但也许会有一两个士兵攻坚成功。整体上来说，任务成功的机率就大增。

相同的，一个投资组合管理者也许会把资本分散在许多账户中，然后赌上每个账户里100%的资本。他想，他也许会输掉很多账户，但有些账户的胜利势必可以使整体的期望值最大化。这就是风险分散（Diversification）的原则。当个别的报酬率非常高时适用。

风险分散

风险分散就是把资金分散到很多不同的投资工具，单一投资工具失败时，损失得以限制。这样的策略必须符合「所有部位平均起来有获利期望值」这样的 条件。比较起单一投资工具，风险分散也提供心理上的好处。短期内投资的变动，可以由不同投资工具间的成果抵消，而获得较为平滑的投资组合变动率 。

The Uncle Point

从分散的投资组合的观点，个别投资工具组合成为总合的绩效。就风险管理者或基金投资人来说，基金的表现就成了注意力的焦点。基金的表现，也会受 上述两种人的感觉、态度、还有投资者对个别股票态度上管理者的态度所影响。

基金管理中最重要的，也许也是最不受注意的观点，就是Uncle Point。它的意思是净值水平降低，引发投资者或管理者信心丧失的那个点。如果投资人或管理者失去信心而进行赎回，那基金就 宣告死亡。正因Uncle Point发生时的环境通常是很灰心气馁的，很少文献对这个现象有详尽的记载。

尤其是当基金在安全范围里的时候，除了法律文件里必要但却含糊的贴示外，没什么人会注意Uncle Point。在Uncle Point认知上的不协调可以导致其中一方的放弃，说起来也很不幸，明明另一方要的只是再次保证。

当压力真的很大的时候，投资人和管理者不会去看那个看也看不懂的法律文件，他们会看的是自己够不够胆。在净值常常降低，高表现，高变动率的创业 界尤其重要。

若双方对Uncle Point没有清楚的共识，风险管理者往往必须假设Uncle Point就在不远处，于是他们寻找降低变动率的方法。如同我们上面所看到的，低变动率系统很少能有最好的获利。然而压力和紧张局势使得对于变动率的 侦查和处罚变成必要。

测量投资组合的变动率（Sharpe, VaR, Lake Ratio and Stress Testing）

从分散投资组合的观点，个别投资工具的成败总合成为整体绩效的一部份。投资组合管理者依赖一整套测量基金表现的工具，例如Sharpe Ratio，VaR，Lake Ratio以及Stress Testing。

威廉夏普先生在1966年提出了他的「报酬－变动率比」。经过长时间，它成为我们所熟知的Sharpe Ratio。Sharpe Ratio利用对变动率调整绩效的方法，提供了比较不同绩效不同变动率投资工具间比较的标准。

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