投资组合管理公式(节选）

ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))

=(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)

=0.4932-0.5068

=-0.0136

换句话说，庄家对游戏者的优势为1.36%。

现在，对于银行家一方，记住只在银行家一方赢钱时才加收5%的佣金，数学期望为：

ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))

=(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))

=0.48146-0.4932

=-0.01174

换句话说，一旦在银行家赢钱时加收5%的佣金，庄家就具有1.174%的优势。

如你所看到的，对游戏者下注毫无意义，因为游戏者的负期望比银行家的负期望还要糟：

游戏者的优势-0.0136

银行家的优势-0.01174

银行家相对游戏者的优势0.00186

换句话说，经过大约538手（1/0.00186），银行家将领先游戏者1个单位。如果再玩更多手，这一优势将更加明确。

这并不表示银行家具有正期望----银行家不具有正期望。银行家和游戏者都具有负期望，但是银行家没有游戏者的负值大。如果每一手你都对银行家下注一个单位，你可以预期大约每85手（1/0.01174）输掉一个单位；而如果每一手你都对游戏者下注一个单位，你预期每74手（1/0.0136）输掉一个单位。你会以较缓慢的比率、但不一定是较缓慢的速度输钱。大多数巴卡拉牌桌都有25美元的最低赌注。如果每一手你对银行家下注一个单位，经过85手你可以预期失去25美元。

我们来比较一下巴卡拉牌戏中的下注与轮盘赌中对红球/黑球的下注。在轮盘赌中，你的数学期望为-0.0526，但最低下注规模为2美元。经过85次旋转，你预期失去大约9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，数学期望也是全部赌注金额（即，全部操作）的函数。如同我们在巴卡拉牌戏中所做的，每次旋转我们都对红色轮盘（或黑色轮盘）下注25美元，与巴卡拉牌戏中的期望损失25美元相比，经过85次旋转我们预期失去112美元。

数字游戏（NUMBERS）

最后，我们来看一下数字游戏中有关的概率。如果巴卡拉牌戏是富人的游戏，数字游戏就是穷人的游戏。数字游戏中的概率绝对令人感到凄惨。这里有一种游戏，游戏者可以在0-999之间任选一个3位数，并且下注1美元赌这个数字会被选中。被选中作为当天数字的数字通常：（1）无法被操纵；（2）可以广为宣传。举个例子，取股票市场日成交量后5位数字的前3位数字。如果游戏者输了，他下注的1美元就输掉了。如果游戏者碰巧赢了，回报就是700美元，他就得到699美元的净利润。数字游戏的数学期望为：

ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))

=(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))

=0.699+(-0.999)

=-0.3

换句话说，你的数学期望是所操作的每一美元输掉30美分。这远比包括科诺（Keno）在内的任何赌场游戏都更加不利。与轮盘赌这样的概率不利的游戏相比，数字游戏的数学期望的不利程度几乎为其6倍。以数学期望来表示，唯一比这种情况更加不利的赌博是大部分的足球彩票以及许多种联邦彩票。

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