在图1-3中，我们将观察到抛60枚硬币游戏中的随机过程。你也将在这张图中看到±1及±2个标准差的曲线。注意：不论如何弯曲，它们都会继续向外延伸。这服从我们刚刚谈及的平均法则。
图1-3随机过程：抛60枚硬币的结果，中线两侧各有1个及2个标准差
庄家优势（THEHOUSEADVANTAGE）
现在，我们来看涉及庄家优势时会发生什么情况。我们仍然要谈到抛硬币的例子。上一次，我们看到抛60枚硬币的对等或“公平”的游戏。现在，我们来看在庄家具有5%优势时会发生什么情况。这样一种游戏的例子是抛一枚硬币，当我们赢时可以赢得1.00美元，输时会输掉1.00美元。
图1-4显示了与我们前面所看到的一样的抛60枚硬币的游戏，唯一区别是这里涉及5%的庄家优势。注意：在这种情况下，输光是难免的----因为上面的标准差开始向下弯曲（最终穿过下面的0轴）。
我们来看一下继续参与数学期望为负的游戏时会发生什么情况。
N（次数）StdDec（标准差）期望±1个标准差
101.580-0.5+1.08至-2.08
1005-50至-10
1,00015.81-50-34.19至-65.81
10,00050-500-450至-550
100,000158.11-5000-4842至-5158
1,000,000500-50000-49500至-50500
在这里，统计学中的各态历经原理（theprincipleofergodicity）在起作用。一个人来到赌场连续100万次下注1美元或者100万人每人同时下注1美元没什么关系。数字是一样的。在赌场开始亏钱之前，100万次下注将偏离数学期望100多个标准差！这里起作用的是平均法则。按照同样的考虑，如果你在庄家优势为5%的游戏中100万次下注1美元，你同样不可能赚钱。许多赌场游戏具有超过5%的庄家优势，象大多数体育赌注一样。交易市场是一个零和游戏。然而，交易市场涉及到佣金、费用以及最低价降低（floorslippage）等形式的少量资金消耗。通常，这些成本可能会超过5%。
下面，我们来看抛100枚游戏具有或不具有5%庄家优势的统计数字：
自中心的标准差50/50的公平游戏5%庄家优势的游戏
+3+15+10
+2+10+5
+1+50
00-5
-1-5-10
-2-10-15
-3-15-20
如我们可以看到的，对于3个标准差的情况，我们有99.73%的机会可以预期在一场公平游戏中赢或输在+15与-15个单位之间。在庄家优势为5%时可以预期，100次试验结束，我们的最后结果在+10与-20个单位之间。对于2个标准差的情况，我们有95%的机会可以预期在一场公平游戏中赢或输在±10之内。在庄家优势为5%的情况下，该数字为+5至-15个单位。对于1个标准差的情况，我们有68%的概率可以预期最后结果，我们在一场公平游戏中赢或输多达5个单位。然而，在庄家具有5%优势的情况下，我们可以预期最后结果在什么都赢不到与输掉10个单位之间！注意：在庄家优势为5%的情况下，在100次试验之后并非不可能赚钱，但是你必须比整整1个标准差做得更好。你会惊讶地获悉，在正态分布中，比整整1个标准差做得更好的概率只有0.1587！
注意：在前面的例子中，自中线0个标准差（即，位于中线上）时，所输的金额就等于庄家优势。对于50/50的公平游戏，所输的金额等于0。你可能会预期不赢不输。在庄家优势为5%的游戏中，在0个标准差时，你预期输掉5%（即每100次试验输掉5个单位）。因此，我们可以认为，在涉及独立过程的单调下注的情况下，你将以庄家占优势的比率输钱。
小于零的数学期望意味着灾难（MATHEMATICALEXPECTATIONLESSTHANZEROSPELLSDISASTER）！
这带给我们另一条公理，可以表述如下：在负期望游戏中，任何资金管理方案都不会使你成为赢家。如果你继续下注，不管你用什么方式管理自己的资金，几乎可以肯定你将成为输家，不论你一开始有多少赌注，你都会输光你全部的赌注。
这听上去似乎发人深思。负的数学期望（不管是负多少）已造成家庭破裂、自杀和谋杀，以及所有其他各种出乎赌徒们意料的结果。我希望你能够认识到，对负的期望下注是怎样一种令人难以置信的亏钱买卖，因为，即使是很小的一个负期望最终都会使你输掉每一分钱。从数学的观点来看，所有试图比这种过程更聪明的尝试都是徒劳的。不要将这一观点与是否涉及非独立或独立试验过程相混淆；这毫无关系。如果你的赌注总和是负的期望，你就是在做亏钱的买卖。
举个例子，你参与一个你具有1/10注优势的非独立试验过程，那么，你必须在你具有优势的赌注下足够多的注，才能使所有这10注之和为正的期望。如果你预期在10注中有9注平均输10分钱，但是你期望在你知道自己具有优势的1/10注上赢10分钱，那么你必须在你知道自己具有优势的赌注上下注超过9次之多，仅仅是正好出现一个净期望。如果你下的注比上面所说的少，你就仍处在负期望的情形中，而且，如果你继续赌下去的话，几乎可以肯定你会彻底输光。
许多人错误地认为，参与一个负期望的游戏将输掉本钱相对于负期望的一定百分比。例如，当大多数人得知轮盘赌的数学期望为5.26%时，他们似乎认为这意味着，他们到赌场玩轮盘赌可以预期平均输掉自己赌注的5.26%。这是一种危险的误解。事实是，他们可以预期输掉自己全部活动（totalaction）的5.26%，而不是自己全部赌注的5.26%。假定他们带500美元去玩轮盘赌。如果他们每次20美元下500注，他们的全部活动就是10000美元，他们可以预期输掉5.26%或者526美元，这超过了他们的全部赌注。
唯一聪明的做法就是当你具有正的期望时才下注。如我们将在后面一章中看到的，并不象负期望就是亏钱买卖一样，正期望就是轻而易举的赚钱买卖。你必须下注明确的数量，这个问题将详尽地讨论。但是，目前我们解决只在正期望市场条件下下注的问题。
至于赌场的赌博，你唯一可以发现正期望的情形是你必须在二十一点牌戏中记住牌，然后，你必须是一位出色的牌手，而且你必须正确地下注。可以找到很多有关二十一点牌戏的好书，因此，对二十一点牌戏我们这里就不再赘述。
巴卡拉牌戏（BACCARAT）
如果你想去赌场赌博，却又不想学会正确地玩二十一点，那么，在所有别的赌场游戏中，巴卡拉牌戏具有最小的负期望。换句话说，你会以较低的比率输钱。下面是巴卡拉牌戏中的概率：
45.842%的时间银行家赢。
44.683%的时间游戏者赢。
9.547%的时间出现平局。
因为，平局被视为巴卡拉牌戏中一个PUSH（没有资金换手，净效果与这把牌没有玩一样），平局去除时概率就变成：
50.68%的时间银行家赢。
49.32%的时间游戏者赢。
现在我们来看数学期望。对于游戏者一方：
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