投资组合管理公式(节选）

九正一反0.01**********

八正二反0.044*****（45种不同方式）

七正三反0.117*****（120种不同方式）

六正四反0.205*****（210种不同方式）

五正五反0.246*****（252种不同方式）

四正六反0.205*****（210种不同方式）

三正七反0.117*****（120种不同方式）

二正八反0.044*****（45种不同方式）

一正九反0.01**********

零正十反0.001*

注意：随着硬币数的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率将减小。当我们用两枚硬币时，全部得到正面或全部得到反面的概率为0.25。三枚硬币的概率为0.125，四枚硬币的概率为0.0625；六枚硬币为0.0156，十枚硬币为0.001。

（注）实际上，在纯粹的统计学意义上，抛硬币并不服从正态概率函数，而是属于一种所谓的二项分布（亦称为伯努利分布或抛硬币分布）。然而，随着N的增大，二项分布的极限接近于正态分布（条件是相关概率不趋向于0或1）。这是因为正态分布是自右至左连续的，而二项分布则不是连续的，而且，正态分布总是对称的，而二项分布则不一定是对称的。因为我们处理的是抛有限枚硬币，试图使之对于抛硬币具有普遍的代表性，加之概率总是等于0.5，故此，我们可将抛硬币分布作为正态分布处理。需要进一步指出的是，如果事件发生N次的概率与对立事件发生N次的概率均大于0.5，正态分布可以被用作二项分布的近似。在我们抛硬币的例子中，因为事件的概率为0.5（对于正面或反面），且对立事件的概率为0.5，则，只要我们处理的是N大于等于11的情况，我们就可以用正态分布作为二项分布的近似。

　可能结果与标准差（POSSIBLEOUTCOMESANDSTANDARDDEVIATIONS）

把一枚硬币抛四次共计有16种可能的实值序列：

1.正正正正

2.正正正反

3.正正反正

4.正正反反

5.正反正正

6.正反正反

7.正反反正

8.正反反反

9.反正正正

10.反正正反

11.反正反正

12.反正反反

13.反反正正

14.反反正反

15.反反反正

16.反反反反

术语“实值序列”在这里表示一个随机过程的实际结果。给定条件下所有可能的实值序列的集合被称为样本空间。注意：上面所描述的抛四枚硬币可以是一次抛所有四枚硬币，或者是一枚硬币抛四次（即，它可以是一个时间序列）。

审视一下实值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”，我们会发现其结果对于单调下注者（即，对每一种场合下一个单位的赌注）可能一样的。不过，对于非单调下注者，这两个实值序列的最终结果可能会大不相同。对于单调下注者，抛四枚硬币的序列仅有5种可能的结果：

4正

3正1反

2正2反

1正3反

4反

正如我们已看到的，抛四枚硬币有16种可能的实值序列。这一事实可能会涉及到非单调下注者。我们将非单调下注者称为“系统”游戏者，因为那是他们最可能的行为----基于某些他们认为自己已解决的方案进行变量下注。

如果你抛一枚硬币4次，你当然只能看到16种可能的实值序列中的一种。如果你再抛4次，你会看到另一种实值序列（尽管你有1/16=0.0625的概率能够看到同一种实值序列）。如果你前往一个游戏桌观看连续抛4次硬币，你将只看到16种实值序列中的一种。你也会看到5种可能的最终结果中的一种。每个实值序列具有相等的发生概率，即0.0625。但是，每个最终结果并不具有相等的发生概率：

最终结果概率

4正0.0625

3正1反0.25

2正2反0.375

1正3反0.25

4反0.0625

大多数人不理解实值序列与最终结果之间的区别，结果是得出错误的结论，认为实值序列与最终结果是同一回事。这是一种可能会带来大量麻烦的共有的误解。是最终结果（而非实值序列）服从钟形曲线----即正态分布，一种特殊类型的概率分布。所有概率分布一个有趣的特性就是统计学上所称的标准差。

对于简单的二项游戏的正态概率分布（比如我们这里所用的抛硬币的最终结果），标准差（SD）为：

SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))

其中，P=事件的概率（例如，出现正面的结果）。

N=试验次数。

对于抛10枚硬币的情况（即，N=10）：

SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))

=10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))

=10*((0.25/10)^(1/2))

=10*(0.025^(1/2))

=10*0.158113883

=1.58113883

某种分布的中线为这种分布的峰值。在抛硬币的例子中，峰值位于正面和反面的平均数处。因此，对于抛10枚硬币的序列，中线将位于5个正面5个反面处。对于正态概率分布，大约有68.26%的事件位于自中线±1个标准差区域内，有95.45%的事件位于自中线±2个标准差区域内，有99.73%的事件位于自中线±3个标准差区域内（见图1-2）。继续我们的抛10枚硬币的话题，1个标准差大约等于1.58。因此，我们可以说，抛10枚硬币有68%的机会我们可以预期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）组成的最终结果为正面（或反面）。因此，如果我们得到7个正面（或反面），我们将位于预期结果的1个标准差之外（预期结果为5个正面或5个反面）。

图1-2正态概率函数：中心线及其两侧两个标准差

这里还有一个有趣的现象。注意：在我们抛硬币的例子中，随着抛硬币次数的增加，均等得到正面反面的概率在减小。对于两枚硬币，得到正1反1的概率为0.5。对于4枚硬币，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。对于6枚硬币为0.3125，对于10枚硬币为0.246。因此我们可以说，随着事件数的增加，最终结果实际等于预期值的概率在减小。

数学期望是我们预期平均每次下注所赢得或输掉的结果。然而，它并没有解释两次下注之间的波动。在我们抛硬币的例子中，我们知道抛一枚硬币出现正面或反面的概率为50/50。我们预期经过N次试验，大约有（1/2）*N抛掷将出现正面，（1/2）*N抛掷将出现反面。假定我们输时会输掉赢时所赢得的相同数量，我们可以说，不管N有多大，我们的数学期望均为0。

我们也知道，大约有68%的机会我们将位于期望值的±1个标准差之内。对于10次试验（N=10），这表示我们的标准差为1.58。对于100次（N=100）试验，这表示我们的标准差的大小为5。对于1000次（N=1000）试验，标准差大约为15.81。对于10000次（N=10000）试验，标准差为50。

N（试验次数）StdDev（标准差）StdDev/N（%）

101.5815.8%

10055.0%

100015.811.581%

10000500.5%

注意：随着N的增加，标准差也增加。这意味着与通常的信念相反，你赌得越久，你就离自己的期望值（以单位赢利或亏损表示）越远。不过，随着N的增加，标准差与N的百分比在减小。这意味着你赌得越久，你就越接近于你的期望值与全部行为（N）的百分比。这是“平均法则”正确的数学形式。换句话说，如果你进行长期的连续下注N，这里，T等于你的总赢利或总亏损，E等于你的期望赢利或期望亏损，则，随着N的增大，T/N趋近于E/N。另外，E和T之间的差异随着N的增大而增大。

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